【题干】A公司卖给B公司一批货物，B公司于2月10日签发一张见票后1个月付款的银行承兑汇票。3月5日，A公司向C银行提示承兑并于当日获得承兑。3月10日，A公司在与D公司的买卖合同中将承兑后的汇票背书转让给D公司，3月20日，D公司在与E公司的买卖合同中将该汇票背书转让给E公司，同时在汇票的背面记载“不得转让”字样。3月30日E公司在与F公司的合同中将该汇票背书转给F公司。
4月6日，持票人F公司向C银行提示付款，C银行以“E公司在背书转让时未记载背书日期”为由拒绝付款。F公司于4月7日取得“拒付理由书”后，于4月12日向E公司、D公司、B公司、A公司同时发出追索通知，追索金额包括汇票金额100万元、逾期付款利息及发出追索通知的费用合计102万元。
对F公司的追索，E公司以F公司未在法定期限内发出追索通知、丧失追索权为由拒绝承担担保责任；D公司以自己在背书时曾记载“不得转让”字样为由拒绝承担担保责任；A公司以追索金额超出汇票金额为由拒绝承担担保责任；B公司以A公司交货不合格为由拒绝承担担保责任。
要求：根据以上资料，回答下列问题。

【题目】（6）如F公司于4月20日才向C银行提示付款，如C银行拒绝付款，能否向E公司行使追索权？C银行的票据责任能否免除？并说明理由。

---